Semester 1

Makalah Sistem Numerasi



 








MAKALAH

SISTEM NUMERASI

Diajukan Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Dasar Yang Dibina Oleh Ibu Dra. Titik Sugiarti, M.Pd.





Oleh :
MUHAMMAD NUR FAIZ
150210204035
Kelas A






PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
JURUSAN ILMU PENDIDIKAN
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan Rahmat, Inayah, Taufik dan Hinayahnya sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dalam bentuk maupun isinya yang sangat sederhana.Semoga makalah ini dapat dipergunakan sebagai salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi pembaca .
            Makalah ini membahas tentang sejarah bilangan dan sistem numerasi. Seperti yang telah kita ketahui, perkembangan zaman ditentukan pula dari perkembangan ilmu pengetahuannya. Ilmu Matematika tentang bilangan dan numerasi ternyata mengalami perkembangan dan berbeda ditiap-tiap negara. Dari bilangan tersebut masing-masing zaman memiliki keunikan yang berbeda-beda, dalam makalah ini akan di bahas mengenai sistem numerasi, yaitu sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Untuk lebih jauh, penulis akan jabarkan di dalam makalah ini.
Harapan kami semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, sehingga kami dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga kedepannya dapat lebih baik.
Makalah ini kami akui masih banyak kekurangan karena pengalaman yang kami miliki sangat kurang. Oleh kerena itu kami harap kan kepada para pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.




Jember , 31 Agustus 2015  



Penulis

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ........................................................................................................1
Daftar isi ..................................................................................................................2
BAB I PENDAULUAN ..........................................................................................3
A. Latar Belakang ...................................................................................................3
BAB II ISI ...............................................................................................................4
A.      Sistem Numerasi ..............................................................................................4
1.      Sistem Numerasi Hindu-Arab .....................................................................4
a.       Sistem angka decimal ............................................................................5
b.      Sistem angka non-desimal .....................................................................5
2.      Sistem Numerasi Romawi ...........................................................................6
3.      Sistem Numerasi Yunani Kuno ...................................................................7
a.       Yunani kuno attik ..................................................................................8
b.      Yunani kuno alfabetik ...........................................................................8
4.      Sistem Numerasi Maya .............................................................................10
5.      Sistem Numerasi Mesir Kuno ...................................................................11
BAB III PENUTUP ...............................................................................................13
A.      Kesimpulan ....................................................................................................13
B.       Saran ...............................................................................................................13
Daftar Pustaka .......................................................................................................14








BAB I
PENDAULUAN

A.     LATAR BELAKANG
Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika,, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga.
Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.






BAB II
ISI

A.     SISTEM NUMERASI
Sistem numerasi adalah sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral/ lambang bilangan. Banyaknya suku bangsa di dunia menyebabkan banyaknya sistem numerasi yang berbeda. Oleh karena itu suatu bilangan dapat dinyatakan dengan bermacam-macam lambing, tetapi suatu lambang menunjuk hanya pada satu bilangan. Beberapa sistem numerasi yang dikenal:
1.        Sistem Numerasi Hindu – Arab ( 300 SM – 750 M)
Menurut sejarahnya, sistem ini bermula dari India sekitar tahun 300 SM, belum menggunakan nilai tempat dan belum mempunyai lambang nol. Mereka mulai menggunakan sistem nilai tempat diperkirakan terjadi pada tahun 500 M. Sistem numerasi Hindu-Arab menggunakan sistem nilai tempat dengan basis 10 yang dipengaruhi oleh    banyaknya jari tangan, yaitu 10. Berasal dari bahasa latin decem yang artinya sepuluh, maka sistem numerasi ini sering disebut sebagai sistem desimal. Tidak diketahui pastinya kapan dan di mana dimulainya lambang nol digunakan, hanya ada beberapa dugaan bahwa lambang nol ini berasal dari Babylonia lewat Yunani.
Sistem angka Hindu-Arab ini mempunyai sifat:
·         menggunakan sepuluh lambang dasar yang disebut angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
·         Bilangan yang lebih dari sepuluh dinyatakan dalam perpangkatan dari 10
·         Mempunyai nilai tempat
·         Bersifat aditif
Contoh :
3534 = 3(10)3 + 5(10)2 + 3(10) + 4
Sistem numerasi Hindu-Arab adalah sistem nilai kedudukan atau sistem nilai tempat. Nilai kedudukan dalam sistem ini berbasis 10, seperti ditunjukkan dibawah:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,&space;10_%7B5%7D,10_%7B4%7D,10_%7B3%7D,10_%7B2%7D,10_%7B1%7D,10_%7B0%7D
Perlu diperhatikan bahwa meski pun angka 3 muncul dua kali, tetapi tempatnya berbeda, maka nilainya juga berbeda. Nilai 3 yang pertama adalah 3000 sedangkan nilai 3 berikutnya 30. Beberapa pengembangan bilangan yang menggunakan sistem angka Hindu-Arab dikemukakan sebagai berikut:
a.             Sistem angka desimal
Sistem angka Hindu-Arab menggunakan 10 lambang dasar. Karena sistem ini berdasarkan pada sistem basis 10, sehingga dikenal dengan sistem desimal (decimal system). Kata “desimal” berasal dari kata Latin “decem” yang artinya sepuluh. Lambang dasar yang digunakan dalam sistem ini adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dalam sistem ini, penempatan suatu angka dalam suatu deretan angka menentukan nilainya.
Bilangan yang lebih besar dari 1 dipisahkan dari bilangan yang lebih kecil dari 1 (pecahan)olah tanda desimal yaitu koma (,). Di sebelah kiri koma, angka pertama bernilai sebesar angka itu sendiri, angka berikutnya bernilai sepuluh kalinya, angka berikutnya bernilai seratus kalinya, dan seterusnya. Di sebelah kanan koma desimal, angka pertama bernilai sepersepuluh angka itu sendiri, angka berikutnya seperseratusnya, dan seterusnya.
Dalam penulisan 103, bilangan 3 adalah “pangkat” dan merupakan cara lain untuk mengemukakan 10 10 10 atau 1000. Demikian pula pangkat negative digunakan untuk menuliskan pecahan desimal, yakni 10-3 berarti (1/103) atau 1/1000 atau 0,001.
Dalam sistem pangkat muncul pertanyaan tentang arti 100 (sepuluh berpangkat nol). Dari deretan bilangan, tampak bahwa 100 ada di antara 101 dan 10-1 atau di antara 10 dan 1/10, dan ditetapkan sama dengan satu. Akhirnya, setiap bilangan, kecuali nol, ditetapkan sama dengan satu.
b.             Sistem angka non-desimal
Kenyataan bahwa sistem perhitungan kita sekarang yaitu sistem angka desimal mungkin disebabkan karena banyaknya jari kira sepuluh. Seandainya manusia dilengkapi dengan dua belas jari tangan, kemungkinan sistem angka dengan dasar dua belaslah yang digunakan. Tetapi tidaklah sulit untuk membuat sistem angka Hindu-Arab untuk suatu bilangan cacah lebih dari satu. Sebagai contoh, pada suatu sistem septimal, dengan dasar tujuh yang digunakan, angka 432,516 mempunyai arti yang sama dengan sistem desimal, kecuali bahwa pangkat dari tujuh yang digunakan, bukan pangkat dari sepuluh. Angka nondesimal dapat diidentifikasikan dengan memperhatikan indeksnya (subscrip). Sebagai contoh, 3457 adalah suatu angka septimal (basis tujuh).
2.             Sistem Numerasi Romawi (± 100 SM)
Peradaban  Romawi lebih mengedepankan ilmu praksis khususnya tentang Aritmatika. Dalam Hal ini ilmu matematika yang menjadi peradaban adalah matematika langsung dalam artian dalam bentuk hasil karya atau penerapan matematika itu sendiri. Sebagai contoh, Penyelesaiaan matematika dalam hal pembayaran bunga dan soal-soal bunga (rente), penyelesaian pembagian harta waris, pembentukan kalender, dll.
Sistem numerisasi Romawi yang sekarang ini merupakan modernisasi siste adisi dari sistemnya yang lama. Sistem ini bukan sistem yang mempunyai nilai tempat, kecuali pada hal-hal tertentu yang sangat terbatas. Sistem ini juga tidak mempunyai nol.Sistem Romawi sudah ada sejak 260 tahun SM. Tetapi sistem Romawi yang seperti sekarang ini belum lama dikembangkannya. Misalnya lambang bilangan untuk empat adalah “IV” yang sebelumnya adalah “IIII”. Lambnag untuk 50 = L pernah bentuknya  ^, û, dan ¯. Lambang 100 = C.
Lambang yang digunakan dalam Sisem Numerasi Romawi
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxfDdWj2zvAqXBlotUnyEHD90xK2i78PevprX8TVT-UD7ijPB3RJO0a6New5fDRDGPVcHdwjvobHFckivwokKEM3kYoOWz0ysQD1IwHRXaKh9XKiq4g11pOr98j5t3DMyX999GEzbKz3UM/s1600/romawi+1.jpg

Sistem romawi            :
1.      Lambang romawi menggunakan huruf besar
2.      Tidak ada angka 0
3.      Tidak mengenal nilai tempat
Aturan penulisan numerasi romawi     :
1.      Penjumlahan
Jikalambangpadabagiankananmenyatakanbilangan yang lebihkecil.
Contoh            :
              XI   : 10+1= 11
             DC   : 500+100= 600
2.      Selisih (Pengurangan)
Jikalambangpadabagiankirimenyatakanbilangan yang lebihkecil.
Aturan Pengurangan   :
a.       I hanya dapat di kurangkan dengan V dan X
b.      X hanya dapat dikurangkan dengan L dan C
c.       C hanya dapat dikurangkan dengan D dan M
“Dalam pengurangan tidak boleh mengurangi sampai dua kali “
Contoh            : IIX≠8= VIII
Contoh dari pengurangan       :
IX= 10-1 = 9
XCIX=(100-10)+(10-1)=99≠IC
3.      Perkalian
Jika dalam suatu bilangan terdapat coretan strip (-) atau coretan diatas lambang
(–̤) = ... x 1000 : X, C, M, V, L, D kecuali I
(˭) = ... x 1.000.000 : I V X C L D M
4. Pengulangan
Tidak boleh mengulang lambang I X C M lebih dari 3 kali secara berurutan (maksimal 3kali)
Sedangkan V L D maksimal mengulang 1 kali
Contoh = IIII ≠ 4 = IV
              VIIII≠ 9 = IX
3.             Sistem Numerasi Yunani Kuno (±600 SM)
Zaman keemasan bangsa yunani kuno diperkirakan terjadi pada tahun 600 S.M Bangsa Yunani telah mengenal huruf dan angka yang ditandai dengan tulisan-tulisan bangsa Yunani pada kulit kayu atau logam sehingga bentuk tulisannya pun terlihat kaku dan kuat. Pada zaman itu banyak bermunculan ahli-ahli matematika dari Yunani beserta temuan teorinya, seperti Euclides, Archimides, Appollonius.
a.             Yunani kuno attik
Sistem numerasi ini berkembang sekitar abad 300 S.M. dan dikenal sebagai angka acrophonic karena simbol berasal dari huruf pertama dari kata-kata yang mewakili simbol: lima, puluhan, ratusan, ribuan dan puluh ribuan. Tulisan ini ditemukan di daerah reruntuhan Yunani yang bernama Attika. Sistem numerasi attik dilambangkan sederhana, dimana angka satu sampai empat dilambangkan dengan lambang tongkat.
Lambang-lambang lain yang mendasari sistem ini, yaitu:
1                                  Ι
10                                Δ  [Deka]
100                              Η [Hɛkaton]
1000                            Χ [K ʰ ilioi / k ʰ ilias]
10000                          Μ[Myrion]
Aturan Penulisan:
Dalam sistem numerasi ini, lambang nol belum ada. Sistem numerasi ini adalah sistem numerasi aditif dan multiplikatif. Multiplikatif terlihat pada penggunaan lambang dimana setiap lambang dasar yang sama dapat disingkat dengan menggunakan lambang tersebut.
Contoh Penulisan Multiplikatif :
23 = Δ ΔIII
45 = Δ Δ Δ Δ┌
50 = Δ Δ Δ Δ Δ atau éΔ
120 = H Δ Δ
1234 = XHH Δ Δ ΔIIII
43210 =MMMMXXX HH Δ
b.             Yunani kuno alfabetik
Digunakan setelah S.N. Yunani kuno attic, Kira-kira tahun 450 SM. bangsa Ionia dari Yunani telah mengembangkan suatu sistem angka, yaitu alphabet Yunani sendiri yang terdiri dari 27 huruf. Bilangan dasar yang mereka pergunakan adalah 10.
Lambang yang digunakan dalam Sistem Numerasi Yunani Kuno Alfabetik
1 = α alpha                              10 = ι iola                                100 = ρ rho
2 = β beta                                20 = κ kappa                           200 = σ sigma
3 = γ gamma                            30 = λ lambda                         300 = τ tau
4 = δ delta                               40 = μ mu                                400 = υ upsilon
5 = ε epsilon                            50 = ν nu                                 500 = φ phi
6 = ζ obselet digamma            60 = ξ xi                                  600 = χ chi
7 = ι zeta                                 70 = ο omicron                        700 = ψ psi
8 = η eta                                  80 = π pi                                  800 = ω omega
9 = θ theta                               90 = ά obselet koppa               900 = Ў obselet sampi
Aturan penulisan Sistem Yunani Kuno Alfabetik
·                Bilangan yang terdiri dari 2 (dua) digit caranya dengan menjumlahkan angka puluhan dengan angka satuan.
Contoh:
19 = 10 + 9 = iq
iv23 = 20 + 3 = Àg
78 = 70 + 8 = oh
·                Bilangan yang terdiri dari 3 (tiga) digit caranya dengan menjumlahkan angka ratusan dengan angka puluhan dengan angka satuan.
Contoh:
174 = 100+70+4 =rod
448 = 400+40+8 =umh
789 = 700+80+9 =jpq
·                Bilangan yang terdiri dari 4 (empat) digit atau ribuan, dengan cara membubuhi tanda aksen (‘).
Contoh:
1000 = a
3734 = gjld
1287 = aspz
·                Bilangan yang terdiri dari 5 (lima) digit atau lebih, dengan menaruh angka yang bersangkutan di atas tanda M.
Contoh:
23734 = β Mgjld
231578 =Àg Mafoh
4.             Sistem Numerasi Maya (±300 SM)
Peradaban Maya telah menetap di wilayah Amerika Tengah dari sekitar 2000 SM, meskipun yang disebut sebagai Periode Klasik membentang dari sekitar 250 SM sampai 900 SM. Tulisan atau angka yang dikembangkan bangsa Maya bentuknya sangat aneh,berupa bulatan lingkaran kecil dan garis-garis. Hal ini tentu dipengaruhi oleh alat tulis yang dipakai,yaitu tongkat yang penampangnya lindris (bulat),sehingga dengan cara manusukkan tongkat ke tanah liat akan berbekas lingkaran atau dengan meletakkan tingkat mereka sehingga berbekas aris.
Aturan penulisan sistem Numerasi Maya :
a.      Telah mengenal lambang nol.
b.      Menggunakan basis 20.
c.      Ditulis secara tegak.
d.     Untuk menyatakan 180, bilangan 180 ditulis sebagai kelipatan dari 9,yaitu (9x20) + 0.
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi801rws3IsfmXE4pisU0FT_lbPXUesQc2rt2Pt2h-tZvjcwerEEDhI3qr1QhSpH6FfVK_Ld3fMV0swTRWrQkiTp9MGK0krJKMYZtqJmlZOOx8ZbpJHXVMUxJS-DYPwQV9G0ta8DVCxNZao/s1600/maya.jpg
Suku Maya menyusun angka mereka untuk menandakan nilai tempat berbeda. Prinsipnya dapat dilahat gambar berikut:

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVhCFgKYsDQ3KNXMXVyTK1A7H38thaVJldDCcku01yCgjcJBHHzHnTL7pJSJ9Vb2HSH0raPfzm-nSRYOUnF8p9qodxxwZ45AC0GnNos0G3wbjYnG88_JLTT3GFxcnWgEJOnnfr6EXX-sxa/s1600/maya+2.jpg

Jumlah 31.781.148 adalah nilai dalam basis 10. Angka yang ditulis dengan ringkas dalam sistem Maya yaitu 11.0.14.0.17.8 dimana angka yang ditulis adalah angka untuk nilai tempat. Ada dua kelebihan dengan menggunakan sistem ini, yaitu:
a. Mudah menunjukkan angka yang lebih besar.
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRLhWum7Vvm3NS9nEtQVlN8A14N9J3v-lZEsxjlkOWKkrRlidqBaBVDQn57OcJHFdl_aw59P59vheMrbjiNqkftQbl9fIx7SluSVuKoO74kLcbPzDtK390yMtcnT9dWtSvhrUE37DKF4eT/s1600/maya+3.jpg

b. Aritmatikanya mudah untuk diselesaikan oleh orang.
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3T5rixJoez1ajudk7KbVLcl_T9ufKfQ9rtTNYNZv7iLs6SROz5_xYsg01wI4hWr5A0KQFFer7adK7cUZXTzT4eml-hQ0QufhtxVd3xiSGG2sf5DGvbQcdTbJVG67BMJW8cbiSntHGdfwD/s1600/maya+4.jpg
Contoh :
1. Bagaimana cara menulis angka 258.458 ?
2. 5 + 8 = 13  Tulislah menggunakan lambing Sistem Numerasi Maya !!


5.             Sistem Numerasi Mesir Kuno (±3000 SM)
Menurut sejarah, bangsa Mesir adalah termasuk bangsa yang berkebudayaan tinggi. Hal ini dapat diketahui dari bangunannya yang sangat besar, misalnya bangunan piramida, sphink dan  yang terkenal dengan obelisk. Tentu saja bangunan tersebut dibuat oleh tangan-tangan manusia yang sangat cerdas, karena hanya bangsa yang berkebudayaan tinggi yang mampu menciptakan bangunan yang megah.

Aturan-aturan penulisan sistem numerasi Mesir Kuno :
a.              Belum mengenal lambang nol.
b.             Belum menggunakan sistem nilai tempat (untuk penulisannya bebas).
c.              Menggunakan sistem aditif, yaitu nilai dari bilangan sama dengan jumlah nilai dari setiap lambang yang digunakan dan nilai dari lambang yang sama adalah sama meskipun letaknya berbeda.
d.             Menggunakan sistem pengelompokkan sederhana, yaitu jika lambang-lambang yang digunakan mempunyai nilai-nilai 1,n,n2,n3,….dan bersifat aditif. Sistem Mesir Kuno mempunyai nilai-nilai 1,10,102,103,..dan bersifat aditif.








 






























BAB III
PENUTUP

A.           Kesimpulan
Sejarah mengenai bilangan perlu kita ketahui, karena dalam kehidupan sehari-hari kita tidak bisa lepas dari sesuatu yang bernama angka. Angka tersebut merupakan salah satu kerabat dari bilangan. Selain menambah wawasan, kita bisa sambil belajar kembali.
B.            Saran
Setelah kita mengetahui sejarah salah satu ilmu tentang matematika ini, diharapkan kita bisa mengamalkan pengetahuan kita ini kepada yang belum tahu.






















DAFTAR PUSTAKA


About Unknown

0 komentar:

Posting Komentar

Diberdayakan oleh Blogger.